Objectif

On souhaite démontrer que deux vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si \(x y' - x' y = 0\)

Stratégie

On doit montrer les deux implications réciproques suivantes :

• Si il existe un nombre réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\), alors \(x y' - x' y = 0\)
• Si les coordonnées vérifient \(x y' - x' y = 0\) alors il existe un nombre réel \(k\) à déterminer tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\)

Ainsi on aura démontré l'équivalence entre la propriété algébrique et la formule analytique.

Première partie de la preuve

On suppose que \(\vec{u} = k \vec{v}\). Par conséquent : $$ \left\{ \begin{array}{lll} x & = & k x' \\ y & = & k y' \end{array} \right. $$ on vérifie alors la formule : $$ \begin{array}{lll} & & x y' - x' y \\ &=& k x' y' - x' k y' \\ &=& k x'y' - k x'y' \\ &=& 0 \end{array} $$ cqfd

Deuxième partie de la preuve

On suppose que les coordonnées des deux vecteurs vérifient \(x y' - x' y = 0\) On essaye de trouver une valeur \(k\) telle que \(\vec{u} = k \vec{v}\).

La formule donne \(x y' = x' y\). Comme on veut isoler \(x\), il y a deux cas :

Cas \(y' \neq 0\) : alors, \(x = \frac{y}{y'} x'\). On pose \(k=\frac{y}{y'}\) On a alors \(x = k x'\) et \(y = k y'\) (car k y'=\frac{y}{y'}y'=y) et donc \(\vec{u} = k \vec{v}\). cqfd

Cas \(y'= 0\) : alors \(\vec{v}=\begin{pmatrix} x' \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) en remplaçant dans la formule, on a \(x' y = 0\) Il y a donc deux possibilités : Si \(y=0\), alors \(\vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) et donc \(\vec{u}\) et \vec{v} sont colinéaires Si \(x'=0\), alors \(\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) est le vecteur nul, qui colinéaire à tous les vecteurs Dans les deux cas, les deux vecteurs sont colinéaires, et donc \(\vec{u} = k \vec{v}\). cqfd

Il suffit de calculer les coordonnées de \(x\vec{i} + y\vec{j}\) : $$ \begin{array}{lll} & & x\vec{i} + y\vec{j} \\ &=& x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\ &=& \vec{u} \end{array} cqfd $$

Stratégie

Nous devons démontrer les deux sens du théorème :

• On sait que toute droite à une équation réduite. En partant de n'importe quelle équation réduite, on doit trouver une équation cartésienne.
• On doit partir d'une équation cartésienne, et montrer que c'est l'équation d'une droite en trouvant son équation réduite.

Ainsi on aura montré que les équations réduites déjà connues et les équations cartésiennes sont parfaitement équivalentes (les équations cartésiennes sont plus naturelles et fonctionnent mieux avec les vecteurs).

Première partie de la preuve

Soit \((D)\) une droite. Il y a deux possibilité : elle a soit une équation réduite de la forme \(y=m x + p\), soit de la forme \(x=k\).

Cas \(y = m x + p\) : alors, \(m x - y + p = 0\). On a une équation cartésienne \(a x + b y + c\) avec \(a = m\), \(b = -1\) et \(c = p\).

Cas \(x = k\) : alors, \(x - k = 0\). On a une équation cartésienne \(a x + b y + c\) avec \(a = 1\), \(b = 0\) et \(c = -k\).

Dans les deux cas, on se ramène à une équation cartésienne, cqfd.

Deuxième partie de la preuve

On suppose qu'on a une équation de la forme \(a x + b y + c = 0\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels tels que \(a\) ou \(b\) est non nul.

A partir d'une équation cartésienne, on obtient une forme réduite d'un des deux types. cqfd

Cas \(b=0\) : alors, \(a\neq 0\) car \(b\) et \(a\) ne peuvent être tous les deux nuls, et : $$ \begin{array} a x + b &=& 0\\ a x &=& -b\\ x &=& \frac{-b}{a} \text{ } (a\neq 0) \\ \end{array} $$ On a une équation réduite du type \(x = k\) avec \(k = \frac{-b}{a}\), donc une droite verticale.

Cas \(b\neq 0\) : alors : $$ \begin{array} a x + b y + c &=&0\\ b y & = & -a x - c\\ y &=& \frac{- a x - c}{b} \text{ } (b \neq 0)\\ y &=& \frac{-a}{b} x + \frac{-c}{b} \\ \end{array} $$ On a une équation réduite du type \(y = m x + p\) avec \(m = \frac{-a}{b}\) et \(p=\frac{-c}{b}\).

On donne les coordonnées des vecteurs directeurs de la figure ci-dessus :

Cas \((D):y = m x + p\)

• Soit \(A\) le point de la droite \((D)\) d'abscisse 0 : \(A (0;p)\)
• Soit \(B\) le point de la droite \((D)\) d'abscisse 1 : \(B (1;m+p)\)

Le vecteur \(\vec{AB}\) est un vecteur directeur de \((D)\) et \(\vec{AB}=\begin{pmatrix} x_B - x_1 \\ y_B - y_A \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 - 0 \\ m+p-p \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}\)
On pose \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}\). cqfd

Cas \((D):x=k\)

La droite est verticale donc n'importe quel vecteur vertical est directeur. On prend \(\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\)

Stratégie

On va se ramener au cas des équations réduites et utiliser la propriété précédente :

Cas \(b=0\)

L'équation est \(a x+ c =0\) qui se ramène à \(x = \frac{-c}{a}\) (car \(a\neq 0\)).
C'est une droite verticale, donc le vecteur \(\vec{u}=\begin{pmatrix} b \\ a \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur.

Cas \(b\neq 0\)

L'équation réduite devient \(y = \frac{-a}{b} + \frac{-c}{b}\) (on a divisé par \(b\neq 0\))
D'après la propriété précédente, on a le vecteur directeur \(\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-a}{b} \\ \end{pmatrix}\)
Or, un vecteur reste directeur si il est multiplié par un nombre réel (car colinéaire). Donc en multipliant par \(-b \neq 0\), on obtient le vecteur directeur : $$\vec{u}=-b\times\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-a}{b} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}$$ cqfd

Stratégie

Pour construire une équation de la forme \(a x + b y + c = 0\), on part d'un point \(M (x;y)\) quelconque de la droite.

L'idée de la preuve est de remarque que les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires (voir schéma ci-dessous).

Utilisation de la condition de colinéarité \(x y' - x' y = 0\)

Soit \(M (x;y)\) un point de la droite \((D)\).

Le vecteur \(\vec{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((D)\) (de même que \(\vec{u}\))

Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{AM}\) sont colinéaires

Donc en appliquant la formule analytique : $$ \begin{array}{lll} (x-x_A)\times \beta - \alpha (y-y_A) &=& 0\\ \beta x - \beta x_A - \alpha y+\alpha y_A &=& 0\\ \beta x + \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) &=& 0 \end{array} $$

Conclusion

On obtient une équation cartésienne \((D):a x + b y + c = 0\) avec \(a = \beta\), \(b = \alpha\) et \(c=\alpha y_A - \beta x_A\). De plus \(\beta\) et \(\alpha\) ne sont pas tous les deux nuls car \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}\neq\vec{0}\)